日本語でも「規則・法令遵守(コンプライアンス)」と言います。この名詞形が compliance で、その動詞形が comply です。
comply with 〜(〜に従う、〜を満たす)
comply with the rules(規則に従う)
comply with the request(要求に応じる)
「compliment(称賛、敬意)」という単語に由来しているよ♬
そこから、好意の証として無償でサービスすることも表すようになりました!
本来なら有料のものが無料という点では、
no charge と似ています。
no charge→通常のサービスが無料
complimentary→追加のサービスが無料
になるイメージ。