late Middle English: from Old French complaindre, from medieval Latin complangere ‘bewail’, from Latin com- (expressing intensive force) + plangere ‘to lament’
「compliment(称賛、敬意)」という単語に由来しているよ♬
そこから、好意の証として無償でサービスすることも表すようになりました!
本来なら有料のものが無料という点では、
no charge と似ています。
no charge→通常のサービスが無料
complimentary→追加のサービスが無料
になるイメージ。