mid 16th century (in commerce (sense 2)): from French, or from Latin commercium ‘trade, trading’, from com- ‘together’ + mercium (from merx, merc- ‘merchandise’)
「compliment(称賛、敬意)」という単語に由来しているよ♬
そこから、好意の証として無償でサービスすることも表すようになりました!
本来なら有料のものが無料という点では、
no charge と似ています。
no charge→通常のサービスが無料
complimentary→追加のサービスが無料
になるイメージ。