「compliment(称賛、敬意)」という単語に由来しているよ♬
そこから、好意の証として無償でサービスすることも表すようになりました!
本来なら有料のものが無料という点では、
no charge と似ています。
no charge→通常のサービスが無料
complimentary→追加のサービスが無料
になるイメージ。
early 18th century: from compliment + -ary. Compliment is mid 17th century, from French compliment, from Italian complimento ‘fulfilment of the requirements of courtesy’, from Latin complementum ‘completion’