dutyには、義務という意味と、そこから派生して(義務的に支払わなければならない)関税を意味します。空港等に行くと、「duty free shop(免税店)」をよく目にしますね。

これは、「duty(義務)」の副詞形ですね。「義務的に」つまり「きちんと」任務を遂行するイメージです。